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OPUSCOLI

MATEMATICI

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DIVERSI AUTORI TOMO PRIMO MILANO

PRESSO PAOLO EMILIO GIUSTI 1832.

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PREFAZIONE

Iue difetti si debbono ‘egualmente evitare nello studio delle scienze fisiche e matematiche. Vi sono taluni i quali pongono ogni cura nella parte pratica di esse, e formandosi un’ idea troppo ristret- ta della loro utilità, rifuggono da ogni ricerca che non si presti ad una immediata applicazione. Si veggono costoro affaccendati nel raccogliere risultamenti di sperienze e di osservazioni, e nel discutere in essi l'esattezza delle ultime decimali con una pazienza che resiste ad ogni fatica, senza che poi si prendano molto pensiero di sollevarsi alla contemplazione delle leggi ammirabili che regnano sopra quei numeri e ne stabiliscono i rapporti e le grandezze. A questi deve dirsi: Prezioso è il vostro studio quando congiungasi col teorico, perchè l’uno perfeziona l’altro trovando i valori di quelle quantità costanti ch’esso lascia indeterminate; ma il primo disgiunto dal se- condo è veramente un corpo senz'anima. Lodevole è colui che ra- duna con intelligenza le espressioni di molti fatti all’ oggetto di indagare le formole matematiche dal cui sublime magistero quelle dipendono: ma chi giunge al ritrovamento di quest'ultime ha tanto maggior diritto alla nostra gratitudine ed ai nostri encomii, quanto n’ ebbe Keplero più di Ticone.

Havvi però un altro difetto verso il quale sembra che nel nostro secolo siavi una tendenza, forse pel motivo che nel passato alcuni dotti inchinavano nell’opposto, ed è quello di abbondare in cal- coli ed in teoriche di cui può temersi che abbiano a restare lungo tempo in una sterile astrazione e generalizzazione, teoriche che, par- lando di fisica matematica, sono talvolta fondate sopra ipotesi non troppo assicurate. A chi si conduce in tale maniera converrà tenere un altro linguaggio: princip] certi, metodi a tutta prova, verità che ritornano sempre le stesse dopo svariati processi analitici, dopo la considerazione di fenomeni molteplici: ecco la scienza che abbiamo ereditata da’ nostri maggiori, la sola scienza che passerà alle più tarde età per onore dell'umano ingegno , per conforto dell’ umana vita.

Le quali cose scrivendo noi non vorremmo che in troppo rigido significato fossero intese Je nostre parole, come se biasimassimo senza

see ICI

IV PREFAZIONE distinzione tutte quelle ricerche dei moderni di cui per avventura non si scorgesse subito un’utile applicazione. Sappiamo di varie dot- trine credute sul principio infeconde di conseguenze, che nel pro- gresso riuscirono ad ottimo fine: sappiamo di alcune ipotesi, che rin- francate successivamente dalla costante corrispondenza dei fatti, pas- sarono ad accrescere il numero delle cognizioni certe: sappiamo in fine che lo spirito avendo anch'esso i suoi bisogni, sarebbe irragio- nevole il chiudergli la fonte di quel diletto che talora prova vivis- simo nella contemplazione di verità anche puramente astratte; chè a torto, per recare un esempio, si toglierebbe da un libro d’analisi Pelegantissima formola di Wallis esprimente il rapporto del diametro alla circonferenza per mezzo di prodotti infiniti dietro il solo motivo ch’essa non è poi la più opportuna a calcolarne prontamente il valore approssimato. Di questa libertà che vorremmo lasciare ai geometri noi non riproviamo l’uso ma l'abuso; e perchè non si incorra nel secondo crediamo conveniente ricordare agli studiosi il pericolo di disperdere le forze della mente in ciò che meno importa, e il dovere di consacrarsi di preferenza alla ricerca ed alla meditazione di quelle verità che formano quanto v'è di più sodo nella scienza.

H numero di sifatte verità, di cui sempre si mantiene la memoria in mezzo alle umane vicissitudini, non è troppo grande: esso si ac- cresce ma lentamente, essendo pochi gli uomini privilegiati ai quali è dato di aggiungervi le loro scoperte. Di qui la ragione per cui na- turalmente si diffida sulle prime dell'eccellenza intrinseca di quelle produzioni che escono alla luce con facilità ed in gran copia. Ma non per questo vogliamo noi sentenziare in maniera precipitata sui lavori de’ moderni; protestiamo di nutrire un’alta opinione intorno il sapere di alcuni geometri viventi, e di riconoscere in taluno di essi quella potenza intellettuale che allarga i confini delle scienze. S'inganna chi crede Pumana natura esaurita negli uomini sommi che ci precedettero, talchè a noi null'altro rimanga che studiare e quasi idolatrare le opere loro. No: se ricomparissero fra noi, ammi- rerebbero essi pure i perfezionamenti e le aggiunte fatte ai loro in- segnamenti, sdegnerebbero di rendersi per qualche poco discepoli di quelli ai quali furono maestri. Nelle scienze severe sempre si progredisce e si sale, il cammino è come iu altro genere di studi, ove quando giungesi a certe sommità il passar oltre è discendere.

PREFAZIONE Vv

Se non vogliamo di subito arrischiare sulle produzioni de’ moderni un giudizio il quale riescirà difficile anche a chi verrà dopo molti anni a correre il nostro arringo, non possiamo però ommettere una osservazione che non ne tocca la sostanza, e che ci è necessaria per ciò che or ora diremo. I grandi Geometri del passato secolo lavora- vano le opere loro in quella guisa che it celebre Sanzio i suoi dipin- ti; ponendo cioè il primo e massimo pregio nell’invenzione ma non trascurando di scendere a trattare con amore i più mimuti partico- lari: la fecondità in taluno quasi prodigiosa faceva danno a que- sta regola, come il lettore dovrà convenirne rammentando anche solamente le opere d’ Eulero. Che lo stesso possa dirsi di varie re- centi scritture, non dissimuliamo di sentirne dubbio: al qual dubbio un altro poi se ne aggiunge anche più spiacevole, quello cioè che la minore attenzione ad un'arte, la quale fa amare la scienza e diminui- sce la difficoltà del suo acquisto, abbia a scemare il numero de’ suoi cultori. Se però ci venisse fatto d’ incontrarci in uno di que? pusilla- nimi, che sconfortato dalla quasi impossibilità di percorrere tanti libri e tante memorie di fresca data relative alle scienze esatte, fosse sul pensiero di voltare strada, gli vorremmo fare coraggio col dirgli essere l'esperimento meno assai malagevole di quanto può sembrare a prima vista, giacchè superati di tratto in tratto certi punti princi- pali, tutto il resto non ha più nulla che possa arrestare. Anche sul conto delle materie gli diremmo che queste sono spesse volte ripe- tute in più luoghi: che alcune dottrine vestite di un aspetto di novità si trovano in parte fra le già conosciute: che varie indagini particolari possono oltrepassarsi quando si è in possesso di metodi generali: che non a molto si riduce la sostanza di ciò che ciascuno scritto aggiunge al deposito delle cognizioni antecedenti, risolvendosi il rimanente in contorni ed accompagnamenti: e queste ed altre cose suggerendogli ci lusingheremmo di vedere di nuovo erigersi le sue speranze.

Abbiamo finora cercato di dare in succinto qualche idea intorno lo stato delle scienze fisiche e matematiche ai nostri giorni con quella schiettezza che non prendendo di mira l’uno o l’altro autore considera le loro produzioni complessivamente. Se tali nozioni non sono false, quali saranno gli scrittori che oggidi possano appellarsi veramente benemeriti della scienza? AI certo prima d'altri coloro che

VI PORVIELE CA4Z3I O0SNIE

si affaticano per aumentare con trovati nuovi e originali le cognizio- ni di non dubbia importanza. Poi anche quelli che si propongono di far note ai loro connazionali le recenti teoriche di cui la scienza si arricchì per altrui mezzo, sceverandole da ciò che è di minore inte- resse, ordinandole e incorporandole a quelle che per sistema d’istru- zione sono alla portata di molti, dilucidandone alcune parti, sup- plendo alcune dimostrazioni, esponendole con metodo. Finalmente anche coloro che non giungendo a nulla migliorare nelle produzioni degli altri si fimitano a darne compendiosa ed esatta notizia, e così risparmiano la fatica di andar frugando nei vari giornali e nelle raccolte accademiche a que’ molti che si accontentano di tali in- formazioni.

Gli scrittori degli opuscoli che ora cominciano ad uscire in luce, e proseguiranno se il pubblico vorrà loro prestare grata accoglien- za, sono lontani dal credersi da tanto di conseguire tutti e tre i fini sopra indicati. Faranno essi però tutto che possono per tale conse- guimento: chè non solo merita lode quegli che arriva alla meta, ma anche colui che scorgendola da lungi si affanna con ogni sua possa per avvicinarvisi. Però i fascicoli di quest'opera, che si succederan- no a non lungo intervallo, presenteranno due parti, nella prima delle quali si daranno scritti originali cercando che siano di argo- menti interessanti ed al livello dello stato attuale della scienza: nella seconda poi avranno luogo compendj, discussioni, notizie dirette all’intento di divulgare fra noi le utili cognizioni da qualunque luogo ci vengano. Entrambe queste parti saranno limitate a quanto è proprio della matematica pura ed applicata, e della fisica princi- palmente congiunta colle matematiche; essendo questo campo anche troppo vasto senza che vi sia bisogno di estenderlo a comprendervi le scienze affini.

Pertanto l'oggetto di quest'opera è manifesto: essa tende a infer- vorare fra di noi lo studio di scienze nobili e ben degne di occupare gl ingegni italiani, i quali posti fra la vivacità francese e la gravità alemanna sembrano i più atti a coltivarle con successo.

PARTE PRIMA

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SULLE FIGURE ISOPERIMETRE

ESISTENTI IN QUALSIVOGLIA SUPERFICIE

MEMORIA DI ANTONIO BORDONI

Quantunque lo scopo principale, che ho di mira in questa breve memoria, sia la contemplazione delle linee costituenti i contorni delle figure della massi- ma o minima area fra le isoperimetre esistenti in una superficie qualsivoglia, non ostante, in essa espongo e dimostro anco, col metodo delle derivate, pro- posizioni relative alle superficie sviluppabili, che occorrono nella dimostrazione di una singolare proprietà delle linee medesime; anzi do principio ad essa col- l’esporre alcune considerazioni generali, che sono necessarie od almeno utili per la facile ed esatta intelligenza di alcuni passi di essa medesima.

Si abbiano le due equazioni

(1)---ya(t=xb(t)+A(t), za()=xc(t)+B(0)

fra le x, y, 2 coordinate rettangole e la £ quantità indeterminata: per ogni va- lore individuato della £, le x, y, 2 saranno coordinate dei punti di una linea retta, la quale varierà, variando la # stessa; ed ammesso la £ quantità da elimi- narsi, le medesime x, y, 2 saranno in vece le coordinate dei punti della super- ficie luogo di tutte le rette corrispondenti agli infiniti valori dei quali è suscet- tibile la medesima quantità #.

Per la origine delle coordinate si immagini la retta parallela a quella rap- presentata colle due equazioni

ya(n)=xb(n)+4(n), za(n=xc(n)+B(n),

ove n esprime un valore individuato della #; ed essa si mova senza cessare di passare per l’ origine e di mantenersi parallela alle successive rette rappresen- tate colle equazioni, che risultano col porre nelle (1) in luogo della quantità # tutti i suoi valori successivi all’72; e continui, finchè cada nella rappresen- tata colle due equazioni

sa =adb(bizattiro(1), cioè finchè sia parallela alla stessa rappresentata colle (1).

Opusc. Matem. e Fisici. I

2 PARTE PRIMA

Evidentemente, le successive deviazioni di questa retta saranno le stesse de- viazioni delle anzidette sue parallele; ed essa genererà una porzione della super- ficie conica, le coordinate della quale sono le x,y, z, che entrano nelle equazioni

ya(=axb(t); sat) =xc(t), ritenuta la £ quantità da eliminarsi.

Questa porzione di superficie conica suppongasi distesa in un piano, e l’ an- golo compreso dalle due rette, nelle quali cadono i suoi estremi, si denomini É: quest’ angolo £ si chiamerà complesso delle successive deviazioni delle rette appartenenti alla famiglia rappresentata colle due equazioni (1).

L’arco circolare, misura dell’ angolo É, e propriamente l'angolo stesso, è evidentemente la curva comune alla porzione anzidetta di superficie conica ed alla sferica avente il centro nella origine delle coordinate ed il raggio eguale alla unità; e però é' derivata di esso sarà la

Vf), purchè le x, y, 2 siano desunte dalle equazioni seguenti

ya)=xb0), 2a) =xc(1),

CAI;

ma queste equazioni ammesso + dD° + = 1, danno ax=a, y=b, s=c; adunque sarà bra + b'*+ "2.

Vale a dire, il quadrato della derivata del complesso delle successive deviazioni delle rette appartenenti alla famiglia rappresentata colle equazioni (1) eguaglia la somma dei quadrati delle derivate delle quantità «, d, c, le quali sono evi- dentemente i coseni degli angoli fatti cogli assi delle coordinate dalla retta rappresentata colle medesime equazioni (1).

Quando le rette rappresentate colle equazioni (1) siano tangenti di una curva, le successive deviazioni di esse si chiamano angoli di contingenza di prima specie della curva stessa; e quando siano perpendicolari ai piani osculatori della curva, le medesime successive deviazioni di esse chiamansi angoli di con- tingenza di seconda specie della curva stessa, e sono in sostanza le successive deviazioni diedre degli stessi piani osculatori.

Osservazione. Nella superficie luogo di tutte le rette rappresentate colle equazioni (1) vi è una linea, ogni punto della quale, è quello di una delle me- desime rette, vicino, più di qualunque altro di essa, alla prossima di esse mede- sime; e dessa è interessante per una tale superficie, come per una superficie sviluppabile lo è il suo spigolo di regresso; e però credo bene di indicare, come si possa essa determinare.

Evidentemente, per questa linea, dev'essere minima la quantità V/(0°+y/24+2"2) e le x', y', insieme alle x, y, 2 soddisfare le quattro equazioni

-

GEOMETRIA ANALITICA 3 ay —bx-A=o0, ya'-—xb'—A'+ay'—ba'=o0, az—-caxT-B=o0, za'—xc'—B'+-az'—ca'=o,

ove le derivate indicate sono tutte rispetto alla #; e però per essa avransi anco le due seguenti ax'+by'+c2=o0, a'x'+b'y'+c'3'=o0.

Eliminando da queste sei equazioni le cinque quantità y, 2, x’, y', 2/, ed avuto riguardo alla a°+ 5°+ c°=1 ed alla sua derivata aa'+00'+cc'=o0, facil- mente si trova la seguente

axE*=(Aa'— A'a)b'+(Ba'— B'a)c', la quale combinata colle medesime

ay-—bx -—A=0, az—cx—-B=0 le x, y, 2 coordinate della linea richiesta.

« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di prima « specie dello spigolo di regresso della superficie sviluppabile tangente una « data, qualsivoglia, lungo una curva pure data ?

Sia z= (x,y) la equazione fra le x, y,z coordinate rettangole della super- ficie qualsivoglia data, ed y=f(x) l’ analoga di una projezione della curva lungo la quale questa superficie è toccata dalla sviluppabile.

Si denominino #, w i valori delle derivate parziali dI) 7 CAI)

da dy corrispondenti alla y =f(x), e 2’, 4; #”, w'' le derivate prime e seconde totali prese rispetto alla x contenuta in questi medesimi valori; e A’ la derivata richiesta.

Essendo R—2z=(P—x)t+(Q—y)u, o=(P_—ax)t'+(Q—y)u' le equazioni fra le P, Q, £ coordinate rettangole della retta caratteristica della superficie sviluppabile, i coseni degli angoli fatti da essa cogli assi delle coordi-

nate risultano / u Ù ? —, —-, —, dovea=tu'—ut', e u=|/(t'°+u'+q?); ‘sa bt x = x e però, per l’ esposto superiormente, sarà

Inta fra

U A È v=()- (1) (0

È da ossia w'A'* = (u'" + t"4+ a!) u?— u?u'?, ed anco piau’ t'uft+(a—t'aBt+ (ua ua. Ma t'a'-—t'a=t(tu’—1’u), wa'-—u'a=ul(t'u'—t'u); adunque sarà uiA':=(1+10+u?) (eu''—t'u)?, e conseguentemente Amel a (Cu'— tu):

la 8 è posta per V(1+£+ wu).

4 PARTE PRIMA

Osservazione. Sebbene la derivata del complesso degli angoli di contingenza di seconda specie dello spigolo di regresso contemplato nella proposizione qui esposta non occorra in questa memoria, nulladimeno credo bene di esporla.

La retta normale della superficie qualsivoglia, nel punto pel quale si hanno hi (x, Sf), ed y=f(x), fa uo assi delle coordinate angoli aventi per coseni

\TAiLAgE na AR 18? ed è essa per pendicolare al corrispondente piano tangente la FIDARE svilup- pabile, il quale è lo stesso osculatore del suo spigolo di regresso; e però la derivata richiesta sarà a V((CB—1Bf+(uB—u'B) +8!) cioè To

« Trovare la derivata dell’ angolo compreso dalle due rette condotte dallo « stesso punto della linea di contatto tra la superficie qualsivoglia e la svilup- « pabile, l’ una tangente a questa linea e 9 altra caratteristica della medesima « superficie sviluppabile?

Si denomini $ l’ angolo del quale si cerca la derivata, s l'arco corrispon- dente della linea di contatto fra le due superficie, ed @, 4 le quantità tw—u#', V(*+ u'+ a), ove però le derivate si intendano prese rispetto a qualsivoglia variabile.

Egli è evidente, che i coseni degli angoli fatti dalle due rette nominate cogli assi delle coordinate x, y, sono ordinatamente

SD 4 n

e però, posto ato, aa AA] I cos. Ga ti (au'—bt'+ ca). Questo valore del cos. P

n I 2 / / 2

«DE —- a au! bt ‘+ C& 3

sen. P n V (6 ( ») ossia senp=z Va bu)+(aa—cu'f+(ba+6t))

Cioè: ‘seni È (at'+bu'), per essere c=at+du, ed a=tu'—ut'. La stessa espressione del cos. 9 somministra visibilmente u°P'«sen.p=p(b't'—a'u-c'a)+a(wu'—uu')Au't-ut")+c(au'—uu'), ; B ossia P'e “n + ui sen. gi a ammesso A=d't— a'u—ac',

e B=(v'u'-wvu')a—(u't'—ut')b+(au —ua')c.

GEOMETRIA ANALITICA 5 Sostituendo nella espressione della .4 in luogo della «@' il suo valore

b / Cc / aa Miti / c' f -b'—-c', siha A=—(at'+bu)+—(cu—aa); a (0 Uu a

e da questa, ponendo in luogo delle quantità c, a le equivalenti at + 0%, sita I tu'—ut', si ottiene 4= È; (at'+bw')(b'+uc'). Così, per essere % uw'-— uu ((u'—t'u)+- (au'—q'U), lay du II Ip u' UP fay!! % fi I xl ut''— u't ici u_tu cho (at —a' t'),

Pad LA ua' u'a= 7, (a't'—at') + È (a'u au),

ed au'—a'u=ult'u'—t'u), at'-a''=t(t'u-—-tu’, alt'-at'=i(tu'—(u), a'uT-au'=ult'u'—t'u'), e però uu''—w'u'= 7 (ua) (uu), u'—yi=7 (+ ta) (ut —u'"t'),

I uo —ua=z- (tt'+uw')(('u'—t'u'), la espressione della B equivale evidentemente alla

È (a (t'-au)+b(u'+at)+c(tt'+u u')) (#'t'—u'"t'); e per tanto sarà

mes ; (a+ bu) (tu! 1), giacchè è a=tu'—ut', e ccat+bu. I valori di sen. p, 4, B trovati danno A:usenP=(0+uc'):a8, B:uwsenPp=f(lu' —t'u'):u=— A';

quindi avrassi p'= To (b'+uc')— A/,

s'

b b s' 1A 14 z! / cioè la derivata richiesta p'= Ba ((£) Bra u(5 ) MA cs

« Trovare la derivata del complesso degli angoli di contingenza di quella « curva piana, nella quale si trasfigura la linea di contatto tra la superficie « qualsivoglia e la sviluppabile, quando questa sia distesa in un piano?

La derivata richiesta si chiami y'.

6 PARTE PRIMA

Nel piano, ove sia distesa la superficie sviluppabile, si immaginino le due linee a seconda delle quali si dispongono la curva di contatto e lo spigolo di regresso, ed anco le due rette secondo le quali si dispongono la tangente e la caratteristica contemplate nella proposizione antecedente: evidentemente que- ste due rette saranno tangenti le due prime linee, e comprenderanno anch'esse l'angolo 7, ed il complesso degli angoli di contingenza della seconda di queste linee sarà lo stesso A considerato nella proposizione prima. Ma la retta tan- gente di una linea piana, nel punto ove è questa incontrata dalla tangente di un’altra linea piana, fa con quest’ altra un angolo, la cui derivata aggiunta a quella del complesso degli angoli di contingenza della seconda linea eguaglia la derivata del complesso degli angoli di contingenza della prima; adunque sarà

'=p'+ A', e per tanto y' = > (() + u(5)). ed anco vA=Z((L) (E) e vO= ot

ove le derivate siano rispetto alla x od alla s.

Corollario. Si chiami D il raggio di curvatura corrispondente all’s della linea y / SIONI piana. Essendo come è noto, s' (=D) sara dhe (2) + E) È $ $ Osservazione. Denomininsi r,v le coordinate rettangole della medesima li- nea piana anzidetta: evidentemente avranno luogo le due equazioni seguenti

/ / / vi { SAN ii plinto pal deo (10 (L)+1(5) INI PO,

colle quali si potrà scoprire la equazione fra le 7, v, quando si conoscano le due eh (0, y), y=f(x); e reciprocamente, si potrà scoprire la y=/(x), quando conoscasi la = =F(x, y) e quella fra le coordinate r, v.

Per lo sviluppo di queste ricerche, leggansi le ultime pagine del Tomo I.° del Trattato di calcolo differenziale ed integrale del benemerito Lacroix.

« Trovare la sfera, che ha un contatto di second’ ordine con una curva esi- « stente in una superficie qualsivoglia ed il centro nel piano tangente la su- « perficie medesima nello stesso suo punto di contatto colla curva?

Si denomini A il raggio della sfera, ed 4, 2, C le coordinate rettangole del

suo centro; e la curva sia la stessa di contatto fra la superficie qualsivoglia e la sviluppabile replicatamente contemplata.

Peril contatto di second’ordine tra la sfera e la curva si hanno le tre equazioni (@—d} +(y—Bf+(—0}=R, r_-Ad+(ry_ B)y'+(2—C)z'=o0, ssa (y_B)yr'e(2—C)z'=o,

ove le derivate delle ordinate y, 2 che dell’arco s sono rispetto alla x; e per

GEOMETRIA ANALITICA "

la proprietà, che il centro della sfera dev’ essere un punto del piano tangente la superficie (quatro ghi si ha anco la

z-C-t(x—A4)—u(y—B)= Sostituendo nella seconda e terza di queste equazioni il valore di 3—C dato dalla quarta, risultano le due

(1+-t23)(xr-A)+(y'+u3')(y—B)=o0, "(x A)+(y'+u2")(y—B)=—s",

le quali danno le ("i+ uz')— (1+-2/0)(yl'+uz)) (Y-B)=(1+2't)s, (ey +u3')— (14-20) (yl' +2) (x d)=—-(y'+u3')s'",

TI LI z! / ossia (B—y) (() + (5) ja + tz",

II ARA e(4-x) (25 + U fave , che riducono la quarta stessa alla

CA)

E sommando fra loro i quadrati dei membri corrispondenti di queste tre equazioni ottenute, e ponendo nella risultante in luogo del trinomio (4A—-xf+(B—y)} +(C— 2) il quadrato A?, ottiensi la seguente

r((3)+ u(5)) = +tz')Y+(y'+uz') +(u—ty')

to ' z! / ossia £î ((£) u(5))=6 , per essere

(1+ tz) +(y'+uz')+(ut—ty'}=P° ss.

Quindi, per la sfera richiesta, sarà n=s:((2)--(0) sman0tn):((8)-(6)) ner ti: ((8) (0)

conio) (0)

Il valore del raggio A è visibilmente lo stesso di quello del ) trovato nel corollario della proposizione antecedente, come era facile a prevedersi, che ciò sarebbe accaduto.

Eccomi allo scopo principale di questa breve Memoria cioè alla contemplazio- ne del contorno della figura dell’area massima o minima tra le isoperimetre ed

8 PARTE PRIMA esistenti tutte in una superficie qualsivoglia : e siccome coll’unire due punti del contorno, qualsivogliono, quando sia esso continuo, od i termini di un suo lato, quando sia discontinuo, con una linea individuata esistente anch’ essa nella superficie, si racchiude colla parte corrispondente del contorno mede- simo una figura, che ha essa pure proprietà di massimo o minimo analoghe a quelle della figura intera; così mi limiterò alla trattazione delle proposi- zioni seguenti.

« Fra le linee esistenti in una data superficie ed aventi lunghezze eguali ed i « termini nei medesimi due punti, trovare quella, che insieme ad una già « individuata nella medesima superficie, racchiude la figura della massima o « minima area?

Si riferiscano i punti, le linee e la superficie a tre piani fra loro perpendico- lari, uno dei quali passi pei due punti termini dati della linea richiesta; e sia L(x,y,z)=0 la equazione della superficie data ed y=f(x) quella di una projezione della linea pure data: e l’ordinata y sia quella perpendicolare al piano, che passa pei due punti termini comuni delle linee. Così, si denomini 5 la lunghezza data di questa linea ed «, c i valori della x corrispondenti ai me- - desimi due termini di esse.

Ora, si immagini nella superficie una qualunque di quelle linee , che passano pei due punti dati, e siano x, y, 2 le sue coordinate rettangole; e la lunghezza di quella sua parte, che è compresa fra questi medesimi due punti sarà

Suva +y!+53")dx. Similmente, l’area di quella figura, che è racchiusa con questa linea e colla rn f(€) data, sarà f de f V(1+2+w2)dy.

Si supponga trovata una primitiva particolare rispetto alla y della V/(1+# +2), e denominisi É(.x, y); cioè sia identica l’ equazione

(Y)=V(1+t+w); e si avrà f (2) S Va+e+dy=tx,)—-H{2,f(2); e conseguentemente la primitiva duplicata sopra esposta ridurrassi alla semplice

St f] ax

Si tratta adesso di trovare le funzioni della x, valori delle Y, 2, che hanno la proprietà di soddisfare le due equazioni

DREI EDI Suva ARI LO 0,

e di rendere massima o minima la primitiva definita

S (E, tr S))de.

GEOMETRIA ANALITICA 9

Dalla teorica dei massimi e minimi risulta, che i valori richiesti delle y, 2

saranno tra quelli soddisfacenti la equazione Fx, y, 2) =0, e la risultante della eliminazione della quantità 4 dalle due seguenti

o=eP()+t0)-25),

a UA o=wP(2)—3(5) ; ove la À esprime una costante arbitraria, e la s l’ arco della linea richiesta. Eliminando effettivamente la funzione 4 da queste ultime due equazioni ,

ARE IA si ottiene la F'(2) #0) —AF"(A) (4) + AF'(7) (5) —0, la quale si riduce alla (4) + (5) = 0, per essere FP'(y)=—uF'(2), e V(r+0?+w)=B8.

Quindi la linea richiesta apparterrà alla famiglia rappresentata colle primitive complete delle due equazioni

vi , z! B Et, SI (1) +u(5) —37=9; e propriamente sarà quella, per la quale, la costante Z e le due portate dalla integrazione di queste equazioni saranno determinate in modo da rendere la

fi VO +y/3+52'2)dx eguale a b, e che passi pei due punti, per i quali si hanno Trai la) vela (1/0); ediacsct@i = Age 2=F(c,f(0). Nell’ ultima equazione esposta pongasi m in vece di a , e sostituiscansi

anco i valori delle #, w cavati dalla penultima, i quali sono f(x): £(), P'(y):F"(z); e si avrà la di / aa z / (1)--- F'(2) (4) F'()) (5) —mV(F'(}+P(y}+FG)})=o0. La superficie data sia piana anzi lo stesso piano degli assi delle x, y; e sarà

P=z, F'(x)=o, F'(y)=o0, F'(2)=1; e la equazione (1) ridurrassi alla

Ivi (2) —m=-o0 ossia y'—(mx+A4)s'=o0, ovvero (my+B){+(mx+A4)—1=0,

dove 4, B esprimono le costanti introdotte dalle due integrazioni eseguite. Questa equazione visibilmente esprime la nota proprietà cioè che la linea richiesta, in questo caso, dev’ essere circolare. In secondo luogo , sia F=z2° + y+x°—n°=o, vale a dire la superficie data sia la sferica di raggio 7. ed avente il centro nella origine delle coordinate. Questo valore della F (x) =2x, F'(Y)=2y,) F'@=22, per cui V(F° (aP+E(yY}+P' (3)?) = 27; e però la equazione (1) somministra la INI ANI #4 3 ——— oi / / o SEZ (I —r\G}7mn=o, ossia zy'— y3 (mnx + A)s'=0

Opusc. Matem. e Fisici. 2

10 PARTE PRIMA sua primitiva completa del prim’ ordine, ove 4 indica una costante arbitraria , e la variabile principale può essere qualunque.

La superficie sferica essendo situata rispetto ai piani degli assi delle 2, x; x, y come lo è rispetto a quello degli assi delle y, 2, avranno evidentemente luogo anco le due equazioni seguenti

az —2x'—(mny+B)s'=o, yx' —xy' —(mnz+C)s'=o0, dove le 8, C sono due costanti.

Moltiplicando i membri di queste tre ultime equazioni ordinatamente per x, Y, 2, e sommando i corrispondenti delle risultanti, si ottiene la

mn(x°+y°+2°)s' +(4x+By+Cz)s'=o0, ovvero Ar +By+Cz+mò=0, la quale insegna, che la linea richiesta dev’ essere piana e però circolare.

In terzo luogo , la superficie data sia la cilindrica, che ha le caratteristiche parallele all’asse delle ordinate y e per equazione z— P(x)=o0.

Essendo l—=2— p(x), si hanno L'(a)=—pP'(x), F'(r).=0,f'()=1; e però la equazione (1) per questo esempio sarà 9 AES A (17) —mV(1+p"?)=o0. Chiamisi v l'arco della curva avente per equazione 2== 7 (x), cioè l’ arco della traccia della stessa superficie cilindrica: sarà V/(1 + p':) =; e però,

(ESUA la equazione trovata equivarrà alla (5) —mnmev'=o0, la quale somministra la y-(mv+ A)s'=o, ed anco ye) (mv+A)s'(v)=0,

dove 4 esprime la costante voluta dalla integrazione eseguita. Dalla rettificazione delle curve si ha

(= V(e'(0) +y'(+ (0), e però sarà s'(0) = V(1 A), giacchè x'(7)° + 2'(0)°= 1; e per tanto, l’ ultima equazione ridurrassi alla y(0)=(mv+ A) V/(1 +y/(0)), la quale somministra evidentemente la (my+ BY} +(mv+A)—-1=0

dove B esprime un’altra costante arbitraria. Quest’ ultima equazione trovata o la sua equivalente

(y+ BA +(0+A42)—-%=0

insegna che, la linea richiesta si trasformerà in una circonferenza o in una porzione di circonferenza, qualora la superficie cilindrica si distenda in un piano: proprietà che era facile a prevedersi, e che ha sempre luogo, quando la superficie data sia sviluppabile.

GEOMETRIA ANALITICA LI Per ultimo esempio, la superficie data sia di rotazione, ed f=z°+ y°—p(a)}=0 cioè 1’ asse delle ordinate x sia lo stesso della superficie. Questo valore della Y F'(ax)=—-29P', F(y)=2y, Pa) =22, e però V(P(x) +P'(y)Y+P"'(2)° ) eguale a 2V/(P9P"+y°+2") ossia a 2PV(1+P");

per cui la equazione (1) somministra la seguente

(arri

una cui primitiva completa del primo ordine è evidentemente sy'—y3—QV(1+y?+2"?)=0: la Q è posta per semplicità in vece della quantità m[PV1+9")dx,

e contiene la costante arbitraria voluta dalla primitiva eseguita. La equazione 2*+y°—P(x)=0, fra le x,y,z coordinate della curva richiesta, somministra

=V(P_y), 2'=7 (PP yy"); e però sarà zy 19; _yP), e V(1+y+2)=V((Py-Pyf+(P_-y)(1+P?)):z;

e per tanto l’ ultima equazione trovata equivarrà alla seguente d(pyr-yP)=QV(Pr-7PY+(P—P)(1+P2),

la quale (O

Br ri digit. > (Pin) Grid e conseguentemente sarà I+P"? Ang. sen T = (L DEI dx, p PV P_Q I 4 ovvero y=@ sen. ra Th) PV P_Q la costante arbitraria, voluta dalla integrazione, suppone contenuta nella primitiva tuttora indicata rispetto alla x. Sostituendo questo valore della y nella equazione y°+2°= p?(x), si ha

evidentemente EM, Q eli Met ag cos. f < F_G da

Concludiamo pertanto, che, la conoscenza della famiglia delle linee alla quale

ossia

dx:

12 PARTE PRIMA appartiene l’attuale richiesta, è ridotta a trovare le primitive rispetto alla x delle due funzioni

Q I +" PVU(1+P?), FV_G: PIV P_Q per cui si per conosciuta.

Osservazione. Se nelle due equazioni, qui trovate, si supporrà la quantità Q costante, esse rappresenteranno evidentemente la Geodetica esistente nella su- perficie di rotazione avente per equazione + p(x) =o.

« Fra le figure isoperimetre esistenti nella stessa superficie ordinaria, trovare « quella la cui area è maggiore dell’ area di ogni altra di esse?

Siano y=p(x,4,4,B), ==Y(x,4,4,B)le primitive complete delle equazioni

E (x,Y,2)<20; (2) u ()- 2 carri 1}:

ove le 4, B esprimono le due costanti arbitrarie introdotte dalle integrazioni. Evidentemente il contorno della figura richiesta sarà una delle linee appar- tenenti alla famiglia rappresentata colle due equazioni

YCP(LA5A4.D), 2=% (2,4, 4, B);

e però la proposta proposizione si riduce a trovare gli opportuni valori delle costanti À, 4, .B atti ad individuarla.

Si determinino le due primitive

SV(i+Pat ye SSN ++) de dy

talmente, che la prima rappresenti l’ intero contorno della figura, e la seconda l’area di essa, e riesciranno due quantità formate colle 4, 4, B: siano esse o (A, 4, B), d (A, 4, B).

Fatto ciò, si trovino i valori delle 4, 4, B, che rendono massima la funzione ò (4, 4, B) e che sono tra quelli soddisfacenti la equazione (4, 4,B)=Z, ove Z esprime la lunghezza del perimetro della figura richiesta; cioè trovinsi i valori delle 4, 4, B soddisfacenti quest’ ultima equazione e le due seguenti

d' (A) (A) —d'(A)a'(A)=o0, ‘I(A)a(B)—d(B)a(A)=0 e si pongano nelle due equazioni y= @ (x,4, 4, B), :=(x,4, 4, B), esi

avranno le equazioni del contorno della figura richiesta e però essa medesima. « Se la superficie sviluppabile tangente una qualsivoglia lungo una parte « continua del eontorno di una figura della massima o minima area, fra le iso- « perimetre esistenti nella medesima superficie qualsivoglia, si distenderà in un « piano, la linea di contatto si trasfigurerà in una circolare. Si ritengano tutte le denominazioni usate nella proposizione penultima, e le coordinate della linea di contatto di cui si parla soddisfarà la equazione

GEOMETRIA ANALITICA 13

Cee la quale A=8: ((2) + (5) 4

Ma dal corollario della proposizione terza risulta, che il secondo membro di questa equazione cioè la quantità

#:((#)G)).

esprime il raggio di curvatura della linea, nella quale si trasforma o trasfigura quella di contatto tra la superficie qualunque e la sviluppabile, quando questa sia distesa in un piano; adunque per la linea attuale , questo raggio sarà eguale alla À, che è quantità costante, e conseguentemente la linea stessa alla quale esso compete sarà circolare: come si è dichiarato nella proposta proposizione.

Osservazione I. Quando esista effettivamente la superficie rigida, nella quale dev'essere la figura della massima o minima area fra le isoperimetre, ogni parte del contorno di questa figura analoga alla considerata in queste ultime tre pro- posizioni, si potrà tracciare sulla medesima superficie con facilità; giacchè, determinate, come si è detto nelle due proposizioni antecedenti, la costante 4 e le funzioni della x valori individuati delle y, 2, e descritto in un piano un arco, o circonferenza, di raggio eguale a 4 e di lunghezza d, basterà adattare il medesimo alla superficie rigida col metodo usato in altre analoghe circostanze, avuto riguardo che la retta tangente ad esso nel suo principio coincida colla toccante la curva richiesta, che è determinata coi valori delle y/(x), 2’ (x) corrispondenti alla x ovvero alla x = c, e che dirigasi convenientemente, onde l’ altro termine di esso cada nel punto altro dei due dati nella superficie qualunque.

Osservazione II. Tutte le sfere, che hanno un contatto di secondo ordine colla linea considerata in queste ultime tre proposizioni ed i centri nei piani tangenti la superficie qualsivoglia nei medesimi punti di contatto di esse, sa- ranno tutte tra loro eguali: ciò discende evidentemente dalle due proposizioni, che precedono le due antecedenti, combinate fra loro.

Finalmente osservisi, che, le proprietà esposte per la figura della massima area fra le isoperimetre esistenti in qualunque superficie, si estendono eviden- temente a quella del minimo contorno fra le aventi aree fra loro eguali.

14 PARTE PRIMA

NOTA

SOPRA UNA TRASFORMAZIONE DELLA PRIMITIVA TRIPLICATA FONDAMENTALE PER LA STEREOMETRIA,

Si denominino x, y 2, le coordinate rettangole di un punto qualunque di una superficie data, 4 la lunghezza di una retta tirata da questo punto, ed a, d, c i coseni degli angoli fatti da essa cogli assi delle x, y, 2; e le 4, 4, 5, c siano funzioni date delle x, y.

Evidentemente, eliminando le x, y dalle tre equazioni

P=zx+ai, Q=y+b4, R=23+%c combinate con quella della superficie data, si avrebbe quella fra le P, Q, A coordinate rettangole della superficie luogo degli altri termini delle rette 4; ed eliminando 4, si hanno visibilmente le due seguenti bP_aQ=bx—ay, bR-cQ=bz—cy, fra le P, Q, R coordinate rettangole di un punto qualsivoglia di quella retta della quale è parte la 4 stessa.

Così si denominino p, g,7 le coordinate rettangole di quel punto della retta 4, che ha dalla superficie data la distanza #; e Y” il volume del corpo compreso fra le due superficie, nelle quali vi sono i termini delle rette 4 e la porzione intercetta tra queste medesime due di una qualunque di quelle altre superficie, che sono generabili da rette a seconda delle quali cadano delle 4 particolari.

Essendo Y=fffdpdqdr, purchè le primitive parziali siano convenientemente estese, e

p=x+at,\q=y-#bt, r=3+ct%; dove le x, y, # sono tre variabili indipendenti l’una dall’altra, il volume stesso /” sarà eguale anco alla primitiva

Pod au @)| SITIO(PArATPAìqY)dxdydt, +1 (6) (px) ay) —P(7) 1) purchè i suoi limiti siano i medesimi della antecedente. I valori delle p, g, dianzi esposti danno pislestsctaty pg PISA q'(x)=t0', gip) =x + eb), q'(0)=b, r(a)=tc+2, r(p)=t*z,, r(0=c, dove le derivate z', a’, 2, c' sono rispetto alla x, e le TA SONE 0) rispetto alla y, le quali somministrano p'(t) (g' (c)r(Y_-9(7) rx) pi (— z'4 (0z,—b,2'—c')t+(bc—L, c) t), g'(t) (P(3) (xe) p'(x) (7) 6 (a, +(a,z'-adz—c)t+(ac—-a'c) t) r'(t) (p'(@) q'(y)—p'(y) g'(x) i (1 + (d+b)t+ (db, —a,0) e) ;

»)

GEOMETRIA ANALITICA 1) e però il sestinomio sotto la primitiva ultima esposta sarà A+ Bt #'iC8, ammesso A=c—az'—bdz,, B=ca-ac+cb—bc,+(ab'—ab)z,+(ba—b,a)2,

e C=a(b'e,--b,c')+b(a,c'— ac) +c(a'b,—a,b').

Ma insieme alla equazione nota a+ + c*= 1 sussistono le due ad+bb'+ec=o0, aa +bb,+cc,=0, le quali, combinate opportunamente colla prima, danno le b(ab—ab')+c(ca—-ac)=a', a(ab—ba)+c(cb,—bc)=b,

/ sù, a b cioè gue dan cu (ab'— ba},

Cover des a LIE Cc C

e combinate fra loro somministrano le due b(a, b'— 45 fm c(a, ci a'c,) 0, 4 (ab, —a, 0) ka (Cb, bc) = 0,

cioè a, a'c,= E (ab, —ba)), b'e,-— c'b,= = (abba); adunque sarà B= - (d+b+ (ab—ab)(b+05) +(ba—ab)(a+c2)),

e c=: (ab,—l'a).

Della primitiva triplicata SSISA+Bt+Ct)dxdydt, eseguendo la parziale rispetto alla variabile #, ed estendendola dalla #= o alla t=À, si ottiene la seguente

SS(42+1Bx+3 Cw) dedy. 2 3

Corollario I. Se il corpo non terminasse alla superficie data, ma ad un’altra per la quale fosse t=4, funzione anch’ essa delle x, y o costante, il volume del corpo evidentemente sarebbe

SS(A-24+ 1 (A-A)B+3 (8-2) C)da dy;

e se fosse anco 4, = À cioè il corpo fosse segato dalla superficie data tal- mente, che le rette 4, 4, fossero fra loro eguali e luna da una banda e l’ altra dall’ altra di questa superficie, il volume di esso sarebbe semplicemente

| 2 (J(24-+3#C)dxdy.

Corollario LI. La superficie data e quella nella quale vi sono le altre estremi- delle rette 4 siano cilindriche e perpendicolari ambedue al piano degli assi delle ordinate x, ; e le direzioni delle rette 4 incontrino tutte l’asse delle z, più quelle che incontrano una qualunque posizione della retta generatrice dell’una o dell’altra superficie passino tutte per un medesimo punto dello stesso asse delle z.

16 PARTE PRIMA

Chiaminsi, « l’angolo fatto dall’ asse delle 2 col piano passante per la 4 e perpendicolare a quello degli assi delle x, 2, e v la distanza delle due rette co- muni a questo medesimo piano ed alle due superficie cilindriche.

Evidentemente si hanno

= sa n a=%-sen.U, b=- sen.u, CE='cos:u” A 2-7 n n n x

doven=V(x° + sen.'u); e però sarà 2,=0, UT0, I Y, ie 2 3 374) a, A 3 dI (y° sen°u+ x°U COS.U), aj 3 Sen. 4, v=+, (x*yu cosu—xysenu), b,= Tito U ni Li, . SEC ea

7 1 di / RI RA 2 a' + b,=—- senu+ +u'cos.u, ab —a' b= - sen.*u, n n ri

ba—ab=— e sen.u, e conseguentemente a, fi PIO .U, gu

x ; Gale de po (cosu—z'sen.u), C==; u sen.u,

e B= = (xu'+ sen.ucosu—2'sen.?4). Sostituendo questi valori degli 4, B, C e quello della 4 nel trinomio UNA RASO 2 3

si ottiene con facilità il seguente polinomio ; 93 v(cos.su—z'sen.u)+ —(xu+senucosu—z'sen.’u)+3— u' sen.u 2X 3x i

la cui primitiva rispetto alla y, estesa dalla y=o alla y=mx, ove lm esprime una costante, risulta

mv 7 (6 (cos.u—z'sen.u)x+39(x4'+sen.u cos.u—z' sen." 1) +-29°U' sen.) ovvero

6

ca (3 (cos.u—2'sen.w)(22x + vsen.u)+v(3x + 20sen.w) u) ; formula utile per la cubatura delle volte a spicchi, ed anco per istabilire le loro condizioni di equilibrio.

Corollario III. La superficie data sia quella, che ha per equazione z+y°—p(x) =o, cioè sia di rotazione ed abbia per suo asse lo stesso delle ordinate x; ed un prolungamento della retta nella quale vi è £ passi per questo medesimo asse, ed il coseno 4 sia funzione della sola x.

Siccome la direzione della 4 passa per l’asse delle x, così si avrà la equa- zione cy —bz=0, che combinata colla a+ 0°+ c°= 1

b= DIVE ez P 2 to) 2

dove m esprime V/(1 a°) cioè il seno dell’ angolo avente a per coseno.

GEOMETRIA ANALITICA 17

Questi valori delle è, c, insieme a quelli delle 2’, 2, che sono E PL,

VA de

evidentemente danno c az'— bz,= si (m_—-aP'), «

a'+b,= 3 (m+a'p), b+cz,=0,

p

a+cz=a+m@P', ed

am f

ab—-ab=— a'b—a b'= mg

e per tanto per questo esempio sarà 4 + Bt+ C?° eguale ad :((m_ap)g + + p_camp)ira't), #2 I ; É cioè A +Bt+Ct°= "(m_ap' me a')(mt-+- 9) Questo valore del trinomio 4 +2t+ C#°, contenendo la sola y contenuta I nel suo fattore >

V@=-y)

annullasi colla y medesima, che è

(map 2. dY(me+9)è,

ha quella sua primitiva rispetto alla y, che

dove £ esprime l’ angolo, che ha 3 per seno.

Così, ordinando quest’ ultima quantità secondo